El significado detrás de la palabra infinito ha sido discutido durante largos siglos entre las mentes más brillantes de las matemáticas y la filosofía. Plantearnos la existencia de un conjunto interminable de elementos, eso es el infinito o al menos es la concepción estándar que se tiene de él. Aunque si se le analiza con mayor detenimiento puede hacer explotar la capacidad mental de cualquiera. Qué sucedería si de pronto en esta indagación profunda nos encontramos con que no hay uno solo, sino que existen muchos infinitos. Desde 1883 el brillante matemático Georg Cantor se encargó de dejar esto claro y demostró con su brillante teorema que no hay un solo infinito, además de que hay infinitos más grandes que otros.

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Referirse al infinito como singular, es quizá uno de los mayores errores que cometemos a la hora de referirnos a un conjunto interminable de elementos. Y es que no existe ‘él infinito’, sino ‘los infinitos’, porque hay más de uno y todos son diferentes. Para comprobarlo tendremos que pensar primero en los conjuntos, ya que el término infinito no podría existir sin referirse a uno o varios conjuntos.

De cómo emparejar infinitos

Cantor se centró en la idea de comparar (emparejar) conjuntos entre sí para demostrar que existe más de un infinito. A menudo se puede comprobar que dos conjuntos son del mismo tamaño simplemente contando. Así si tenemos un conjunto de mujeres y un conjunto de hombres, sabremos si son iguales si contamos el número de hombres y el número de mujeres. Si en ambos casos la cifra es igual, entonces tenemos dos conjuntos del mismo tamaño.

existen muchos infinitos

Esto en dado caso que podamos aplicar el conteo, pero existen conjuntos donde no se puede o no se requiere contar. Por ejemplo, ahora tenemos un conjunto de muchas personas situadas en una misma habitación y también tenemos un conjunto de sillas. ¿Cómo saber si uno es mayor que otro? Pues haciendo una relación 1 a 1, o lo que es lo mismo que emparejar ambos conjuntos, es decir, sentando a cada persona en una silla. Así, si sobran sillas sabremos que el conjunto de sillas era mayor. Pero si quedan personas paradas, entonces el conjunto de personas es mayor que el de las sillas. En este caso no necesitamos aplicar el conteo y de todas maneras pudimos comparar ambos conjuntos entre sí.

Existen muchos infinitos

Pero al hablar de infinitos desde luego que tenemos que pensar en grande, así que, cuando trasladamos esta situación a conjuntos sin fin es donde el asunto se torna interesante. Ahora pensemos que el conjunto de sillas está representado por los números naturales, esos que utilizamos para contar (1, 2, 3, 4, 5…) y las personas harán de números pares (2, 4, 6, 8 10…). Por lógica uno podría pensar que habrá muchos más números naturales que pares, ya que los pares son sólo la mitad. Pero la comparación de conjuntos dice otra cosa sorprendente.

existen muchos infinitos

Primero hay que pensar en cómo emparejamos ambos conjuntos. En este caso sentaremos a cada persona (números pares) en una silla (números naturales), así el 1 quedaría emparejado con el 2, el 2 con el 4, el 3 con el 6, el 4 con el 8, el 5 con el 10… Si continuamos nos daremos cuenta de que cada silla está ocupada por un número par, ¿esto qué significa? Que hay tantos números naturales como números pares. Piénsalo un poco, esto es simplemente impresionante, ¿no crees?

Los infinitos tienen esta clase de propiedades; también puede sustituirse el conjunto de números pares por múltiplos del 5 y encontraremos el mismo resultado: Hay tantos números naturales, como múltiplos del 5. Pero, ¿qué no se suponía que los números naturales eran infinitos? Sí lo son, sólo que representan un infinito, hay otro infinito de números pares, otro de múltiplos del 5… y así sin parar.

¿Por qué unos son más grandes que otros?

Con esto queda demostrado que existen muchos infinitos, pero hasta ahora sólo hemos hablado de conjuntos del mismo tamaño. Y Cantor estaba seguro de que existían unos más grandes que otros. Para comprobar esto, tenemos que pensar ahora en los números reales o lo que llamamos comúnmente decimales. Entre los números naturales 1 y 2, tenemos por ejemplo 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5… Pero a su vez entre el 0.1 y el 0.2 tenemos 0.11, 0.12, 0.13, 0.14, 0.15… Igualmente entre 0.11 y 0.12 tenemos 0.111, 0.112, 0.113, 0.114, 0.115… La cantidad de números reales que hay entre dos números naturales es inmensa. Así que podríamos decir que queda claro que hay más números reales que números naturales, un infinito es más grande que el otro. Tan así, que no se pueden emparejar estos conjuntos y esto es justamente lo que demuestra el teorema de Cantor.

Así que la próxima vez que una persona te diga que te quiere hasta el infinito, piensa que puede que se refiera a un infinito de números naturales y, no uno de números reales.

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